a, b, c > 0

Demostrar

1/a³ + 1/b³ + 1/c³ + 3abc ≥ 6

Tenemos una desigualdad en la que intervienen funciones simétricas, las terceras potencias sobre los valores recíprocos .
Podemos establecer una relación entre los valores, α , y sus recíprocos, 1/α , vía las funciones simétricas unitarias , e_n.

x ³ − e₁ x ² + e₂ x − e₃ = 0

Construimos la ecuación con soluciones recíprocas,

y ³ − ( e₂ / e₃ ) y ² + ( e₁ / e₃ ) y − (1 / e₃ ) = 0

Conocido el valor de las funciones simétricas podemos determinar el valor de las sumas de las terceras potencias , ∑1/p³ , mediante las identidades de Newton.

3 e₃² − 3 e₁ e₂ e₃ + e₂³
∑1/p³ = ――――――――――――
e₃³

Podemos expresar la desigualdad original como,

∑1/p³ + 3 e₃ ≥ 6

3 e₃² − 3 e₁ e₂ e₃ + e₂³
―――――――――――― + 3 e₃ ≥ 6
e₃³

La siguiente desigualdad entre las funciones simétricas unitarias ,

_n
e_n ≥ ( ) e_m^{m / n}
^m

1 ≥ m ≥ n

nos permite resolver el problema, expresando e₁ y e₂ en función de e₃ ,

e₁ ≥ 3 e₃^{1 / 3}

e₂ ≥ 3 e₃^{2 / 3}

Sustituyendo y simplificando,

e₃ + 1 / e₃ ≥ 2

Hemos transformado el problema original en una desigualdad que puede verificarse empleando las propiedades de las medias aritmética/geométrica, que es evidentemente cierta, de forma que queda demostrada la validez de la desigualdad bajo estudio.

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