지난 포스팅에서
이 이야기를 했다. 사실 zeta(-1) 의 경우 regulator 를 이용한 방법에 대해 이미 소개를 한 적이 있다. [관련 포스팅 [수학, 과학(?), 계산] 1+2+3+ ... = -1/12 와 Regulator ] 베르누이 숫자를 이용한 것도 이미 이전 포스팅에서 소개했다.
zeta 함수의 reflection functional equation 과 제타함수가 s=1 에서 simple pole 을 갖는다는 사실을 이용하면, zeta(0) 값을 쉽게 구할 수 있다. zeta(0) 값이 나온다면 zeta(-1) 값은 그져 reflection functional equation 의 bonus 로 얻을 수 있다.
먼저 zeta(s) 가 s=1 에서 simple pole with residue 1 의 의미를 수식으로 전개해 보자.
제타함수 정의 4 포스팅에서 이미 이 식을 유도한 적이 있다.
여기에 (1-s) 를 곱하자. 감마함수의 성질
를 이용하면
가 나오고 이로부터
자 여기서 s->1 로 보내면
zeta(-1) 의 값은 zeta(2) 의 값으로 바로 나온다. [관련 포스팅 제타2 참조]
여담으로 reflection equation 에서 zeta(1) 을 구할수 있지 않을까란 생각을 할 수 도 있다.
Gamma(0) 는 정의가 되지 않는 수이다. 따라서 저 위의 식은 아무런 의미가 없다.
이 reflection formula 를 가지고 모든 짝수의 제타함수를 표현할 수 있다. 사실 이를 위해서는
식이 필요하다.
Reflection equation 으로 인해
이를 정리하면
참고로 이 결과를 [수학, 계산] zeta2 포스팅의 삼각함수 편에서 다룬 적이 있다.
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